В какой бы сфере экономики человек ни трудился, вольно или невольно он пользуется математическими знаниями, накопленными за многие столетия. С устройствами и механизмами, содержащими окружности, мы сталкиваемся ежедневно. Круглую форму имеет колесо, пицца, многие овощи и фрукты в разрезе образуют круг, а также тарелки, чашки, да и многое другое. Однако, правильно рассчитывать длину окружности умеет не каждый.
Чтобы вычислить длину окружности, необходимо вначале вспомнить, что такое окружность. Это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной. А круг – это геометрическое место точек плоскости, находящееся внутри окружности. Из вышесказанного следует, что периметр круга и длина окружности – это одно и то же.
Способы нахождения длины окружности
Помимо математического способа нахождения периметра круга, есть и практические.
- Взять веревку или шнур и обернуть один раз вокруг.
- Затем веревку измерить, полученное число и будет длиной окружности.
- Прокатить круглый предмет один раз и посчитать длину пути. Если предмет очень небольшой, можно несколько раз обмотать его бечевкой, затем размотать нить, измерить и поделить на число витков.
- Найти требуемую величину по формуле:
L = 2πr = πD ,
где L – искомая длина;
π – константа, приблизительно равна 3,14 r – радиус окружности, расстояние от ее центра до любой точки;
D – диаметр, он равен двум радиусам.
Применение формулы, чтобы найти длину окружности
- Пример 1. Беговая дорожка проходит вокруг окружности радиусом 47,8 метров. Найти длину данной беговой дорожки, приняв π = 3,14.
L = 2πr =2*3,14*47,8 ≈ 300(м)
Ответ: 300 метров
- Пример 2. Колесо велосипеда, обернувшись 10 раз, проехало 18,85 метра. Найти радиус колеса.
18,85: 10 =1,885 (м) – это периметр колеса.
1,885: π = 1,885: 3,1416 ≈ 0,6(м) – искомый диаметр
Ответ: диаметр колеса 0,6 метра
Удивительное число π
Несмотря на кажущуюся простоту формулы, почему-то многим трудно ее запомнить. Видимо, это происходит из-за того, что в формуле есть иррациональное число π, которое не присутствует в формулах площади других фигур, например, квадрата, треугольника или ромба. Нужно просто запомнить, что это константа, то есть постоянная, означающая отношение длины окружности к диаметру. Около 4 тысяч лет назад люди заметили, что отношение периметра круга к его радиусу (или диаметру) одинаково для любых окружностей.
Древние греки приближали число π дробью 22/7. Долгое время π высчитывали как среднее между длинами вписанных и описанных многоугольников в окружность. В третьем столетии нашей эры китайский математик провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение π = 3,1416. Необходимо помнить, что π всегда постоянно для любой окружности. Его обозначение греческой буквой π появилось в 18 веке. Это первая буква греческих слов περιφέρεια - окружность и περίμετρος - периметр. В восемнадцатом веке было доказано, что эта величина иррациональна, то есть ее нельзя представить в виде m/n, где m – целое, а n – натуральное число.
Очень часто при решении школьных заданий по или физике возникает вопрос - как найти длину окружности, зная диаметр? На самом деле никаких сложностей в решении этой проблемы нет, нужно только чётко представлять себе, какие формулы , понятия и определения требуются для этого.
Вконтакте
Основные понятия и определения
- Радиус - это линия, соединяющая центр окружности и её произвольную точку . Он обозначается латинской буквой r.
- Хордой называется линия, соединяющая две произвольные точки лежащие на окружности .
- Диаметр - это линия, соединяющая два пункта окружности и проходящая через её центр . Он обозначается латинской буквой d.
- - это линия, состоящая из всех точек, находящихся на равном расстоянии от одной избранной точки, именуемой её центром. Её длину будем обозначать латинской буквой l.
Площадь круга - это вся территория, заключённая внутри окружности . Она измеряется в квадратных единицах и обозначается латинской буквой s.
Пользуясь нашими определениями, приходим к выводу, что диаметр круга равен его самой большой хорде.
Внимание! Из определения, что такое радиус круга можно узнать, что такое диаметр круга. Это два радиуса отложенные в противоположных направлениях!
Диаметр окружности.
Нахождение длины окружности и её площади
Если нам дан радиус окружности, то диаметр окружности описывает формула d = 2*r . Таким образом, для ответа на вопрос, как найти диаметр круга, зная его радиус, достаточно последний умножить на два .
Формула длины окружности, выраженная через её радиус, имеет вид l = 2*П*r .
Внимание! Латинской буквой П (Пи) обозначается отношение длины окружности к её диаметру, и это есть непериодическая десятичная дробь. В школьной математике она считается заранее известной табличной величиной, равной 3,14!
Теперь перепишем предыдущую формулу, чтобы найти длину окружности через её диаметр, помня, в чём состоит его разница по отношению к радиусу. Получится: l = 2*П*r = 2*r*П = П*d.
Из курса математики известно, что формула, описывающая площадь окружности, имеет вид: s = П*r^2.
Теперь перепишем предыдущую формулу, чтобы найти площадь окружности через её диаметр. Получим,
s = П*r^2 = П*d^2/4.
Одним из самых сложных заданий в данной теме является определение площади круга через длину окружности и наоборот. Воспользуемся тем, что s = П*r^2 и l = 2*П*r. Отсюда получим r = l/(2*П). Подставим полученное выражение для радиуса в формулу для площади, получится: s = l^2/(4П) . Абсолютно аналогичным способом определяется и длина окружности через площадь круга.
Определение длины радиуса и диаметра
Важно! Прежде всего узнаем, как измерить диаметр. Это очень просто — проводим любой радиус, продлеваем его в противоположную сторону до пересечения с дугой. Циркулем отмеряем полученное расстояние и с помощью любого метрического инструмента узнаем искомое!
Ответим на вопрос, как узнать диаметр окружности, зная её длину. Для этого выразим его из формулы l = П*d. Получим d = l/П.
Мы уже знаем как из длины окружности можно найти её диаметр, точно также найдём и радиус.
l = 2*П*r, отсюда r = l/2*П. Вообще, чтобы узнать радиус, его нужно выражать через диаметр и наоборот.
Пусть теперь требуется определить диаметр, зная площадь окружности. Используем то, что s = П*d^2/4. Выразим отсюда d. Получится d^2 = 4*s/П . Для определения самого диаметра потребуется извлечь корень квадратный из правой части . Получится d = 2*sqrt(s/П).
Решение типовых заданий
- Узнаем, как найти диаметр, если дана длина окружности. Пусть она равняется 778,72 километра. Требуется найти d. d = 778,72/3,14 = 248 километров. Вспомним, что такое диаметр и сразу определим радиус, для этого определённое выше значение d разделим пополам. Получится r = 248/2 = 124 километра.
- Рассмотрим, как найти длину данной окружности, зная её радиус. Пусть r имеет значение 8 дм 7 см. Переведём это все в сантиметры, тогда r будет равняться 87 сантиметров. Воспользуемся формулой, как найти неизвестную длину круга. Тогда наше искомое будет равняться l = 2*3,14*87 = 546,36 см . Переведём наше полученное значение в целые числа метрических величин l = 546,36 см = 5 м 4 дм 6 см 3,6 мм.
- Пусть нам требуется определить площадь данной окружности по формуле через её известный диаметр. Пусть d = 815 метров. Вспомним формулу, как найти площадь окружности. Подставим сюда данные нам значения, получим s = 3,14*815^2/4 = 521416,625 кв. м.
- Теперь узнаем, как найти площадь круга, зная длину его радиуса. Пусть радиус равняется 38 см. Используем известную нам формулу. Подставим сюда данное нам по условию значение. Получится следующее: s = 3,14*38^2 = 4534,16 кв. см.
- Последним заданием определим площадь круга по известной длине окружности. Пусть l = 47 метров. s = 47^2/(4П) = 2209/12,56 = 175,87 кв. м.
Длина окружности
Одной линейкой здесь не обойтись, необходимо знать специальные формулы. Единственное, что от нас потребуется - это определить диаметр или радиус круга. В некоторых задачах эти величины обозначены. Но что делать, если у нас нет ничего, кроме рисунка? Не беда. Диаметр и радиус можно вычислить с помощью обычной линейки. Теперь приступим к самому основному.
Формулы, которые должен знать каждый
Еще в почти 4 000 лет назад, учёные выявили удивительное соотношение: если длину окружности разделить на ее диаметр, то получается одно и то же число, которое равно примерно 3,14. Это значение назвали именно с этой буквы в древнегреческом языке начиналось слово «периметр» и «окружность». На основании того открытия, которое совершили древние ученые, можно рассчитать длину любой окружности:
Где P означает длину (периметр) окружности,
D - диаметр, П - число "Пи".
Длина окружности круга может также быть посчитана через ее радиус (r), который равен половине длины диаметра. Вот и вторая формула, которую нужно запомнить:
Как узнать диаметр окружности?
Представляет собой хорду, которая проходит через центр фигуры. При этом она соединяет две наиболее удалённые точки в круге. Исходя из этого, можно самостоятельно прочертить диаметр (радиус) и измерить его длину с помощью линейки.
Способ 1: вписываем прямоугольный треугольник в круг
Рассчитать длину окружности будет несложно, если мы найдем ее диаметр. Необходимо начертить в круге где гипотенуза будет равна диаметру окружности. Для этого необходимо иметь под рукой линейку и угольник, иначе ничего не получится.
Способ 2: вписываем любой треугольник
На стороне круга отмечаем три любые точки, соединяем их - получаем треугольник. Важно, чтобы центр окружности лежал в области треугольника, это можно сделать на глаз. Проводим к каждой стороне треугольника медианы, точка их пересечения совпадёт с центром окружности. А когда нам известен центр, можно с помощью линейки легко провести диаметр.
Данный способ очень похож на первый, но может применяться при отсутствии угольника или в тех случаях, когда нет возможности чертить на фигуре, например на тарелке. Необходимо взять лист бумаги с прямыми углами. Прикладываем лист к кругу так, чтобы одна вершина его угла соприкасалась с краем круга. Далее отмечаем точками места, где стороны бумаги пересекаются с линией окружности. Соединяем эти точки с помощью карандаша и линейки. Если под рукой ничего нет, просто согните бумагу. Эта линия и будет равна длине диаметра.
Пример задачи
- Ищем диаметр с помощью угольника, линейки и карандаша по способу № 1. Предположим, получилось 5 см.
- Зная диаметр, мы легко можем его вставить в нашу формулу: P = d П = 5*3,14 = 15,7В нашем случае получилось около 15,7. Теперь вы без особых проблем сможете объяснить, как рассчитать длину окружности.
1)L = 2πR, где L - длина окружности, π - константа, 3.14, R - радиус окружности.
В случае, если известен только диаметр, то формула будет выглядеть как «R = D/2».
Если длина окружности неизвестна, но есть данные о длине определенного , то формула будет иметь вид «R = (h^2*4 + L^2)/8*h», где h – высота сегмента (является расстоянием от середины хорды до самой выступающей части указанной дуги), а L – длина сегмента (которая не является длиной хорды).Хорда – отрезок , которая соединяет две точки окружности .
Обратите внимание
Следует различать понятия «окружность» и «круг». Круг является частью плоскости, которая, в свою очередь, ограничивается окружностью определенного радиуса. Чтобы найти радиус, необходимо знать площадь круга. В таком случае уравнение будет иметь вид «R = (S/π)^1/2», где S является площадью. Чтобы вычислить площадь, в свою очередь следует знать радиус («S = πr^2»).
У такой геометрической фигуры, как окружность, имеется несколько характеристик: радиус, диаметр, площадь, длина окружности . Все они взаимосвязаны между собой. Это означает, что в любой из них заключено достаточно информации для определения всех остальных характеристик того же круга .
Инструкция
Окружность представляет собой кривую, ограничивающую плоскость, называемую кругом. Иными , окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от ее центра. Отрезки соединенные с центром, окружности именуются ее радиусами, а расстояние от одной точки до другой, проходящее через центр, называется диаметром окружности . Диаметр окружности равен двум радиусам: D=2r. Уравнение окружности в аналитической геометрии имеет вид:x^2+y^2=R^2Существует также понятие хорды окружности . Она тоже получается путем соединения двух точек окружности , но не обязательно проходит через ее центр. Все диаметры, которые проходят через середину хорды, перпендикулярны ей. Самая большая хорда окружности является ее диаметром.
Как и любая кривая, окружность имеет некоторую длину p. Давно замечено, что длина окружности связана с ее диаметром π:p/d=πОтсюда следует, что p=πd, или p = 2πr, где r - радиус окружности .Число π имеет иррациональное значение, но приблизительно оно равно 3,14.Зная длину окружности , можно и определить кольца, ограниченного окружностями. Она равна:S=2πr*k, где k - расстояние между внутренней и внешней окружностями кольца; 2πr - длина внутренней окружности кольца.
Графический способ определения длины окружности , по причине его неточности, редко. Для этого используют курвиметр - прибор для измерения длины кривой линии. В любом месте окружности отмечают начальную точку измерения. К ней подносят курвиметр и ведут его по линии, пока снова не попадут в ту же точку.
Длины окружности имеет значительное практическое значение. Помимо математиков, его осуществлять физикам, астрономам. Первые вычисляют длину окружности элементарных , вторые - небесных тел. Также, цирковой арены, беговой , руководствуясь приведенными выше формулами, можно вычислить, какое расстояние пробежит или бегун за один круг.
С связано много интересных, красивых, но и трудных теорем в геометрии. Наша задача одна из самых простых: нам предстоит найти диаметр окружности . Попробуем сделать это, используя две формулы.
Инструкция
Отрезок, который соединяет любые две точки окружности, хордой.Проходящая через центр окружности , называется ее диаметром. Диаметр символом или латинской D. Диаметр (D) вдвое длиннее радиуса окружности (R) и наибольшим возможным расстоянием между точками окружности.Пример. Радиус окружности 20 см. D(диаметр)-? Тогда, если R = 20 см, а мы знаем, что длина диаметра равна длине двух радиусов, то D = 2R = 2*20 = 40 см.
Есть второй способ найти диаметр окружности. В этом случае нам должна быть известна ее длина. Обозначьте латинской буквой C. Пример. С = 60 см. D - ? Решение. Из мы знаем, что длина окружности находится по формуле: С = 2R, где: R – радиус окружности, а - «пи», равное приблизительно 3,14. Тогда, из этой следует другая: D = С: 3,14. Значит, D = 60: 3,14 = 19,12 см.
Окружность иногда называют «колесом геометрии». Одно из свойств колеса – его ось остается все время на неизменном расстоянии от поверхности, по которой оно катится - в математической формулировке превращается в определение окружности. Окружностью называют множество точек плоскости, удаленных от некоторой точки, ее центра, на одно и то же расстояние, или радиус (от латинского radius – «спица колеса», «луч»). Радиусами называются также отрезки, соединяющие центр с точками окружности.
Диаметр делит окружность на равные части. Комментатор «Начал» древнегреческий философ Прокл, живший в V веке, приписывал это открытие Фалесу, признанному родоначальником античной философии и науки. Уточняя данное утверждение, можно сказать, что окружность симметрична относительно любого своего диаметра (точнее, содержащей его прямой).*
* Энциклопедия для детей, том 11 «Математика», Москва «Аванта+», 1998г.
Чтобы рассчитать радиус окружности, достаточно знать величину радиуса данной окружности, а также необходимые постоянные значения величин. Рассмотрим два варианта вычисления длины окружности, в которых участвуют различные постоянные величины.
Длина окружности обозначается буквой C и вычисляется по формуле:
C = 2πR,
где R
- радиус окружности.
Вывод формулы, выражающей длину окружности
Путь C и C’ - длины окружностей радиусов R и R’. Впишем в каждую из них правильный n-угольник и обозначим через P n и P" n их периметры, а через a n и a" n их стороны. Используя формулу для вычисления стороны правильного n-угольника a n = 2R sin (180°/n) получаем:
P n = n · a n = n · 2R sin (180°/n),
P" n = n · a" n = n · 2R" sin (180°/n).
Следовательно,
P n / P" n = 2R / 2R". (1)
Это равенство справедливо при любом значении n. Будем теперь неограниченно увеличивать число n. Так как P n → C, P" n → C", n → ∞, то предел отношения P n / P" n равен C / C". С другой стороны, в силу равенства (1) этот предел равен 2R / 2R". Таким образом, C / C" = 2R / 2R". Из этого равенства следует, что C / 2R = C" / 2R", т. е. отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей.
Это число принято обозначать греческой буквой π ("пи").
Из равенства C / 2R = π получаем формулу для вычисления длины окружности радиуса R:
С = 2πR.
Длина дуги окружности
Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина l дуги в 1° равна 2πR / 360 = πR / 180.
Поэтому длина l дуги окружности с градусной мерой α
выражается формулой
l = (πR / 180) · α.
