Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока: ввести понятие двугранного угла и его линейного угла;
Ход урока
Сообщить тему урока, сформировать цели урока.
II. Актуализация знаний учащихся (слайд 2, 3).
1. Подготовка к изучению нового материала.
Что называется углом на плоскости?
Что называется углом между прямыми в пространстве?
Что называется углом между прямой и плоскостью?
Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах
III. Изучение нового материала.
- Понятие двугранного угла.
Фигура, образованная двумя полуплоскостями , проходящими через прямую МN, называется двугранным углом (слайд 4).
Полуплоскости - грани, прямая МN – ребро двугранного угла.
Какие предметы в обыденной жизни имеют форму двугранного угла? (Cлайд 5)
- Угол между плоскостями АСН и СНD – это двугранный угол АСНD, где СН – ребро. Точки А и D лежат на гранях этого угла. Угол AFD – линейный угол двугранного угла АCHD (слайд 6).
- Алгоритм построения линейного угла (слайд 7).
1 способ. На ребре взять любую точку О и провести перпендикуляры в эту точку (РО DE, KO DE) получили угол РОК - линейный.
2 способ. В одной полуплоскости взять точку К и опустить из нее два перпендикуляра на другую полуплоскость и ребро (КО и КР), тогда по теореме обратной ТТП РОDE
- Все линейные углы двугранного угла равны (слайд 8). Доказательство: лучи ОА и О 1 А 1 сонаправлены, лучи ОВ и О 1 В 1 тоже сонаправлены, углы ВОА и В 1 О 1 А 1 равны как углы с сонаправлеными сторонами.
- Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла (слайд 9).
IV. Закрепление изученного материала.
- Решение задач (устно по готовым чертежам). (Слайды10-12)
1. РАВС – пирамида; угол АСВ равен 90 о, прямая РВ перпендикулярна плоскости АВС. Доказать, что угол РСВ – линейный угол двугранного угла с
2. РАВС - пирамида; АВ = ВС, D – середина отрезка АС, прямая РВ перпендикулярна плоскости АВС. Доказать, что угол PDB – линейный угол двугранного угла с ребром АС.
3. PABCD – пирамида; прямая РВ перпендикулярна плоскости АВС, ВК перпендикулярна DC. Доказать, что угол РКВ – линейный угол двугранного угла с ребром СD.
- Задачи на построение линейного угла (слайды 13-14).
1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если в пирамиде РАВС грань АВС – правильный треугольник, О – точка пересечения медиан, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС
2. Дан ромб АВСD.Прямая РС перпендикулярна плоскости АВСD.
Построить линейный угол двугранного угла с ребром ВD и линейный угол двугранного угла с ребром АD.
- Вычислительная задача. (Слайд 15)
В параллелограмме АВСD угол АDС равен 120 0 , АD = 8 см,
DС= 6 см, прямая РС перпендикулярна плоскости АВС, РС= 9 см.
Найти величину двугранного угла с ребром АD и площадь параллелограмма.
V. Домашнее задание (слайд16).
П. 22, № 168, 171.
Используемая литература:
- Геометрия 10-11 Л.С.Атанасян.
- Система задач по теме “Двугранные углы” М.В.Севостьянова (г.Мурманск), журнал Математика в школе 198… г.
Данный урок предназначается для самостоятельного изучения темы «Двугранный угол». В ходе этого занятия учащиеся познакомятся с одной из самых важных геометрических фигур - двугранным углом. Также на уроке нам предстоит узнать о том, как определить линейный угол рассматриваемой геометрической фигуры и какой бывает двугранный угол при основании фигуры.
Повторим, что такое угол на плоскости и как он измеряется.
Рис. 1. Плоскость
Рассмотрим плоскость α (рис. 1). Из точки О исходят два луча - ОВ и ОА .
Определение . Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом.
Угол измеряется в градусах и в радианах.
Вспомним, что такое радиан.
Рис. 2. Радиан
Если мы имеем центральный угол, длина дуги которого равна радиусу, то такой центральный угол называется углом в 1 радиан. , ∠АОВ = 1 рад (рис. 2).
Связь радианов и градусов.
рад.
Получаем, рад. (). Тогда, 
Определение . Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а , не принадлежащими одной плоскости.
Рис. 3. Полуплоскости
Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 3). Их общая граница - а . Указанная фигура называется двугранным углом.
Терминология
Полуплоскости α и β - это грани двугранного угла.
Прямая а - это ребро двугранного угла.
На общем ребре а двугранного угла выберем произвольную точку О (рис. 4). В полуплоскости α из точки О восстановим перпендикуляр ОА к прямой а . Из той же точки О во второй полуплоскости β восставим перпендикуляр ОВ к ребру а . Получили угол АОВ , который называется линейным углом двугранного угла.
Рис. 4. Измерение двугранного угла
Докажем равенство всех линейных углов для данного двугранного угла.
Пусть мы имеем двугранный угол (рис. 5). Выберем точку О и точку О 1 на прямой а . Построим линейный угол соответствующий точке О , т. е. проведем два перпендикуляра ОА и ОВ в плоскостях α и β соответственно к ребру а . Получаем угол АОВ - линейный угол двугранного угла.
Рис. 5. Иллюстрация доказательства
Из точки О 1 проведем два перпендикуляра ОА 1 и ОВ 1 к ребру а в плоскостях α и β соответственно и получим второй линейный угол А 1 О 1 В 1 .
Лучи О 1 А 1 и ОА сонаправленны, так как они лежат в одной полуплоскости и параллельны между собой как два перпендикуляра к одной и той же прямой а .
Аналогично, лучи О 1 В 1 и ОВ сонаправлены, значит, ∠ АОВ = ∠ А 1 О 1 В 1 как углы с сонаправленными сторонами, что и требовалось доказать.
Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла.
Доказать : а ⊥ АОВ.
Рис. 6. Иллюстрация доказательства
Доказательство :
ОА ⊥ а по построению, ОВ ⊥ а по построению (рис. 6).
Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым ОА и ОВ из плоскости АОВ , значит, прямая а перпендикулярна плоскости ОАВ , что и требовалось доказать.
Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Это означает, что, сколько градусов радиан содержится в линейном угле, столько же градусов радиан содержится в его двугранном угле. В соответствии с этим различают следующие виды двугранных углов.
Острый (рис. 6)
Двугранный угол острый, если его линейный угол острый, т.е. .
Прямой (рис. 7)
Двугранный угол прямой, когда его линейный угол равен 90°- Тупой (рис. 8)
Двугранный угол тупой, когда его линейный угол тупой, т.е. 
.
Рис. 7. Прямой угол
Рис. 8. Тупой угол
Примеры построения линейных углов в реальных фигурах
АВС D - тетраэдр.
1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ .
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
Построение :
Речь идет о двугранном угле, который образован ребром АВ и гранями АВ D и АВС (рис. 9).
Проведем прямую D Н перпендикулярно плоскости АВС , Н - основание перпендикуляра. Проведем наклонную D М перпендикулярно прямой АВ, М - основание наклонной. По теореме о трех перпендикулярах заключаем, что проекция наклонной НМ также перпендикулярна прямой АВ .
То есть, из точки М восстановлены два перпендикуляра к ребру АВ в двух гранях АВ D и АВС . Мы получили линейный угол D МН .
Заметим, что АВ , ребро двугранного угла, перпендикулярно плоскости линейного угла, т. е. плоскости D МН . Задача решена.
Замечание . Двугранный угол можно обозначить следующим образом: D АВС , где
АВ - ребро, а точки D и С лежат в разных гранях угла.
2. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС .
Проведем перпендикуляр D Н к плоскости АВС и наклонную D N перпендикулярно прямой АС. По теореме о трех перпендикулярах получаем, что НN - проекция наклонной D N на плоскость АВС, также перпендикулярна прямой АС. D NН - линейный угол двугранного угла с ребром АС .
В тетраэдре D АВС все ребра равны. Точка М - середина ребра АС . Докажите, что угол D МВ - линейный угол двугранного угла ВАС D , т. е. двугранного угла с ребром АС . Одна его грань - АС D , вторая - АСВ (рис. 10).
Рис. 10. Иллюстрация к задаче
Решение :
Треугольник ADC - равносторонний, DM - медиана, а значит и высота. Значит, D М ⊥ АС. Аналогично, треугольник A В C - равносторонний, В M - медиана, а значит, и высота. Значит, ВМ ⊥ АС.
Таким образом, из точки М ребра АС двугранного угла восстановлено два перпендикуляра DM и ВМ к этому ребру в гранях двугранного угла.
Значит, ∠DM В - линейный угол двугранного угла, что и требовалось доказать.
Итак, мы определили двугранный угол, линейный угол двугранного угла.
На следующем уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых и плоскостей, дальше узнаем что такое двугранный угол при основании фигур.
Список литературы по теме "Двугранный угол", "Двугранный угол при основании геометрических фигур"
- Геометрия. 10-11 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
- Геометрия. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М.: Дрофа, 2008. - 233 с.: ил.
- Yaklass.ru ().
- E-science.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
- Tutoronline.ru ().
Домашнее задание по теме "Двугранный угол", определение двугранного угла при основании фигур
Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Задания 2, 3 стр. 67.
Что такое линейный угол двугранного угла? Как его построить?
АВС D - тетраэдр. Построить линейный угол двугранного угла с ребром:
а) В D б) D С.
АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 - куб. Постройте линейный угол двугранного угла А 1 АВС с ребром АВ . Определите его градусную меру.
Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями. Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала. Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.
Основные нюансы
Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ.
Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.
Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра.
Следующий шаг - нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол.
Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.
Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» - залог вашего успеха
В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями. Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо. А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.
Математический портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к госэкзамену. Занятия на нашем сайте помогут ученикам определить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.
Мы подготовили и понятно изложили весь необходимый материал. Базовые определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач различной степени сложности, например, на , представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.
Практикуясь в решении задач, в которых требуется найти угол между двумя плоскостями, учащиеся имеют возможность в онлайн-режиме сохранить любое задание в «Избранное». Благодаря этому они смогут вернуться к нему необходимое количество раз и обсудить ход его решения со школьным учителем или репетитором.
Тема урока: «Двугранный угол».Цель урока: введение понятия двугранного угла и его линейного угла.
Задачи:
Образовательная: рассмотреть задачи на применение этих понятий, сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями;
Развивающая: развитие творческого мышления учащихся, личностное саморазвитие учащихся, развитие речи учащихся;
Воспитательная: воспитание культуры умственного труда, коммуникативной культуры, рефлексивной культуры.
Тип урока: урок усвоения новых знаний
Методы обучения: объяснительно-иллюстративный
Оборудование: компьютер, интерактивная доска.
Литература:
Геометрия. 10-11 классы: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] – 18-е изд. – М. : Просвещение, 2009. – 255 с.
План урока:
Организационный момент (2 мин)
Актуализация знаний (5 мин)
Изучение нового материала (12 мин)
Закрепление изученного материала (21 мин)
Домашнее задание (2 мин)
Подведение итогов (3 мин)
Ход урока:
1. Организационный момент.
Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.
2. Актуализация опорных знаний.
Учитель: На прошлом уроке вы писали самостоятельную работу. В целом работы написали неплохо. А теперь давайте немного повторим. Что называется углом на плоскости?
Ученик: Углом на плоскости называется фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.
Учитель: Что называется углом между прямыми в пространстве?
Ученик: Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.
Ученик: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.
Учитель: Что называется углом между прямой и плоскостью?
Ученик: Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
3.Изучение нового материала.
Учитель: В стереометрии наряду с такими углами рассматривается ещё один вид углов – двугранные углы. Вы, наверное, уже догадались какова тема сегодняшнего урока, поэтому откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока.
Запись на доске и в тетрадях:
10.12.14.
Двугранный угол.
Учитель : Чтобы ввести понятие двугранного угла, следует напомнить, что любая прямая, проведенная в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две полуплоскости (рис.1,а)
Учитель : Представим себе, что мы перегнули плоскость по прямой так, что две полуплоскости с границей оказались уже не лежащими в одной плоскости (рис. 1, б). Полученная фигура и есть двугранный угол. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. У двугранного угла две грани, отсюда и название - двугранный угол. Прямая - общая граница полуплоскостей - называется ребром двугранного угла. Запишите определение в тетрадь.
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости.
Учитель : В обыденной жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющими форму двугранного угла. Приведите примеры.
Ученик : Полураскрытая папка.
Ученик : Стена комнаты совместно с полом.
Ученик : Двускатные крыши зданий.
Учитель : Правильно. И таких примеров огромное количество.
Учитель : Как вы знаете, углы на плоскости измеряются в градусах. Вероятно у вас возник вопрос, а как же измеряются двугранные углы? Это делается следующим образом. Отметим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла. Сделайте чертёж у себя в тетрадях.
Запись на доске и в тетрадях.
О ∈ а, АО ⊥ а, ВО ⊥ a , СА BD – двугранный угол, ∠ AOB – линейный угол двугранного угла.
Учитель : Все линейные углы двугранного угла равны. Сделайте себе ещё вот такой чертёж.
Учитель : Докажем это. Рассмотрим два линейных угла АОВ и PQR . Лучи ОА и QP лежат в одной грани и перпендикулярны OQ , значит, они сонаправлены. Аналогично лучи ОВ и QR сонаправлены. Значит, ∠ AOB = ∠ PQR (как углы с сонаправленными сторонами).
Учитель : Ну, а теперь ответ на наш вопрос как же измеряется двугранный угол. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Перерисуйте из учебника со страницы 48 изображения острого, прямого и тупого двугранного угла.
4.Закрепление изученного материала.
Учитель : Сделайте чертежи к задачам.
№ 1 . Дано: Δ ABC , АС = ВС, АВ лежит в плоскости α, CD ⊥ α, С ∉ α. Построить линейный угол двугранного угла CABD .
Ученик : Решение: CM ⊥ AB , DC ⊥ АВ. ∠ CMD - искомый.
№ 2. Дано: Δ ABC , ∠ C = 90°, ВС лежит плоскости α, АО ⊥ α, A ∈ α.
Построить линейный угол двугранного угла АВСО.
Ученик : Решение: AB ⊥ BC , АО ⊥ ВС, значит, ОС ⊥ ВС. ∠ ACO - искомый.
№ 3 . Дано: Δ ABC , ∠ С = 90°, АВ лежит в плоскости α, CD ⊥ α, С ∉ α. Построить линейный угол двугранного угла DABC .
Ученик : Решение: CK ⊥ AB , DC ⊥ АВ, DK ⊥ АВ, значит, ∠ DKC - искомый.
№ 4
. Дано:
DABC
- тетраэдр,
DO
⊥
ABC
.Построить линейный угол двугранного угла
ABCD
.
Ученик : Решение: DM ⊥ ВС, DO ⊥ ВС, значит, ОМ ⊥ ВС; ∠ OMD - искомый.
5.Подведение итогов.
Учитель: Что нового вы узнали сегодня на уроке?
Ученики : Что называется двугранным углом, линейным углом, как измеряется двугранный угол.
Учитель : Что повторили?
Ученики : Что называется углом на плоскости; углом между прямыми.
6.Домашнее задание.
Запись на доске и в дневниках: п. 22, №167, №170.
«Двугранный угол» - Найдите расстояние от точки В до плоскости. Угол С острый. Треугольник АВС – тупоугольный. Угол С тупой. Расстояние от точки до прямой. В тетраэдре DАВС все ребра равны. Угол между наклонными. Расстояние между основаниями наклонных. Линейные углы двугранного угла равны. Алгоритм построения линейного угла.
«Двугранный угол геометрия» - угол РСВ - линейный для двугранного угла с ребром АС. Найти (увидеть) ребро и грани двугранного угла. Модель может быть как объемной, так и складной. Сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру. Грани. прямая СР перпендикулярна ребру СА (по теореме о трех перпендикулярах). угол РКВ - линейный для двугранного угла с РСАВ.
«Трёхгранный угол» - Признаки равенства трехгранных углов. Дано: Оabc – трехгранный угол; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Урок 6. Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и плоскостью применима формула: Формула трех косинусов. . Дан трехгранный угол Оabc. Трехгранный угол. Теорема. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине меньше 120?.
«Трёхгранные и многогранные углы» - Трехгранные углы додекаэдра. Трехгранные и четырехгранные углы ромбододекаэдра. Четырехгранные углы октаэдра. Трехгранные углы тетраэдра. Измерение многогранных углов. Задача. Многогранные углы. Пятигранные углы икосаэдра. Вертикальные многогранные углы. Трехгранный угол пирамиды. Пусть SA1…An – выпуклый n-гранный угол.
«Угол между прямой и плоскостью» - В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AC1 и плоскостью ADE1. В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AA1 и плоскостью ACE1. Угол между прямой и плоскостью. В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ADE1.
«Многогранный угол» - Выпуклые многогранные углы. Многогранные углы. В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д. В) икосаэдр. Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. Следовательно, ? ASB + ? BSC + ? ASC < 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.
Всего в теме 9 презентаций
