Что такое искусственные спутники Земли?
Какое назначение они имеют?
Вычислим скорость, которую надо сообщить искусственному спутнику Земли, чтобы он двигался по круговой орбите на высоте h над Землёй.
На больших высотах воздух сильно разрежен и оказывает незначительное сопротивление движущимся в нём телам. Поэтому можно считать, что на спутник массой m действует только гравитационная сила , направленная к центру Земли (рис. 3.8).
Согласно второму закону Ньютона m цс = .
Центростремительное ускорение спутника определяется формулой где h - высота спутника над поверхностью Земли. Сила же, действующая на спутник, согласно закону всемирного тяготения определяется формулой где M - масса Земли.
Подставив найденные выражения для F и а в уравнение для второго закона Ньютона, получим
Из полученной формулы следует, что скорость спутника зависит от его расстояния от поверхности Земли: чем больше это расстояние, тем с меньшей скоростью он будет двигаться по круговой орбите. Примечательно то, что эта скорость не зависит от массы спутника. Значит, спутником Земли может стать любое тело, если ему сообщить определённую скорость. В частности, при h = 2000 км = 2 10 6 м скорость υ ≈ 6900 м/с.
Подставив в формулу (3.7) значение G и значения величин М и R для Земли, можно вычислить первую космическую скорость для спутника Земли:
υ 1 ≈ 8 км/с.
Если такую скорость сообщить телу в горизонтальном направлении у поверхности Земли, то при отсутствии атмосферы оно станет искусственным спутником Земли, обращающимся вокруг неё по круговой орбите.
Такую скорость спутникам способны сообщать только достаточно мощные космические ракеты. В настоящее время вокруг Земли обращаются тысячи искусственных спутников.
Любое тело может стать искусственным спутником другого тела (планеты), если сообщить ему необходимую скорость.
Вопросы к параграфу
1. Что определяет первую космическую скорость?
2. Какие силы действуют на спутник любой планеты?
3. Можно ли сказать, что Земля - спутник Солнца?
4. Выведите выражение для периода обращения спутника планеты.
5 Как изменяется скорость космического корабля при входе в плотные слои атмосферы? Нет ли противоречий с формулой (3.6)?
Нашей планеты. Объект при этом будет двигаться неравномерно и неравноускоренно. Это происходит потому, что ускорение и скорость в данном случае не будут удовлетворять условиям с постоянной по направлению и величине скоростью/ускорением. Эти два вектора (скорости и ускорения) по мере движения по орбите будут всё время менять свое направление. Поэтому такое движение иногда называют движением с постоянной скоростью по круговой орбите
Первая космическая - скорость, которую нужно придать телу, чтобы вывести его на круговую орбиту. При этом оно станет подобно Другими словами, первая космическая - скорость, достигнув которую тело, движущееся над поверхностью Земли, не упадёт на неё, а будет продолжать движение по орбите.
Для удобства вычислений можно рассматривать это движение как происходящее в неинерциальной системе отсчета. Тогда тело на орбите можно будет считать находящимся в состоянии покоя, так как на него будут действовать две и тяготения. Следовательно, первая будет вычисляться, исходя из рассмотрения равенства этих двух сил.
Рассчитывается она по определённой формуле, в которой учитывается масса планеты, масса тела, гравитационная постоянная. Подставив известные значения в определённую формулу, получают: первая космическая скорость - 7,9 километров в секунду.
Кроме первой космической существуют вторая и третья скорости. Каждая из космических скоростей вычисляется по определённым формулам и интерпретируется физически как скорость, при которой любое тело, запускаемое с поверхности планеты Земля, становится либо искусственным спутником (это произойдет при достижении первой космической скорости), либо выходит из поля тяготения Земли (это происходит при достижении второй космической скорости), либо уйдёт из Солнечной системы, преодолевая притяжение Солнца (это происходит при третьей космической скорости).
Набрав скорость, равную 11,18 километров в секунду (вторая космическая), может лететь в сторону планет в Солнечной системе: Венеры, Марса, Меркурия, Сатурна, Юпитера, Нептуна, Урана. Но чтобы достичь какой-либо из них, нужно учитывать их движение.
Раньше учёные полагали, что движение планет равномерное и происходит по окружности. И только И. Кеплер установил настоящую форму их орбит и закономерность, по которой изменяются скорости движения небесных тел при их вращении вокруг Солнца.
Понятие космической скорости (первой, второй или третьей) применяется при расчёте движения искусственного тела в любой планеты или её естественного спутника, а также Солнца. Так можно определить космическую скорость, например, для Луны, Венеры, Меркурия и других небесных тел. Эти скорости должны вычисляться по формулам, в которых учитывается масса небесного тела, силу тяготения которой нужно преодолеть
Третья космическая может быть определена исходя из условия, что космический аппарат должен иметь по отношению к Солнцу параболическую траекторию движения. Для этого во время запуска у поверхности Земли и на высоте около двухсот километров его скорость должна быть равной примерно 16,6 километров в секунду.
Соответственно космические скорости могут быть рассчитаны также и для поверхностей других планет и их спутников. Так, например, для Луны первая космическая составит 1,68 километров в секунду, вторая — 2,38 километров в секунду. Вторая космическая скорость для Марса и Венеры, соответственно, равна 5,0 километров в секунду и 10,4 километра в секунду.
Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов»
Кафедра систем технологий и товароведения
Доклад по курсу концепции современного естествознания на тему «Космические скорости»
Выполнила:
Проверил:
г. Санкт-Петербург
Космические скорости.
Космическая скорость (первая v1, вторая v2, третья v3 и четвёртая v4) - это минимальная скорость, при которой какое-либо тело в свободном движении сможет:
v1 - стать спутником небесного тела (то есть способность вращаться по орбите вокруг НТ и не падать на поверхность НТ).
v2 - преодолеть гравитационное притяжение небесного тела.
v3 - покинуть Солнечную систему, преодолев притяжение Солнца.
v4 - покинуть галактику Млечный Путь.
Первая космическая скорость или Круговая скорость V1 - скорость, которую необходимо придать объекту без двигателя, пренебрегая сопротивлением атмосферы и вращением планеты, чтобы вывести его на круговую орбиту с радиусом, равным радиусу планеты. Иными словами, первая космическая скорость - это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите.
Для вычисления первой космической скорости необходимо рассмотреть равенство центробежной силы и силы тяготения действующих на объект на круговой орбите.
где m - масса объекта, M - масса планеты, G - гравитационная постоянная (6,67259·10−11 м³·кг−1·с−2), - первая космическая скорость, R - радиус планеты. Подставляя численные значения (для Земли M = 5,97·1024 кг, R = 6 378 км), найдем
7,9 км/сПервую космическую скорость можно определить через ускорение свободного падения - так как g = GM/R², то
Вторая космическая скорость (параболическая скорость, скорость убегания) - наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала относительно массы небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела. Предполагается, что после приобретения телом этой скорости оно не получает негравитационного ускорения (двигатель выключен, атмосфера отсутствует).
Вторая космическая скорость определяется радиусом и массой небесного тела, поэтому она своя для каждого небесного тела (для каждой планеты) и является его характеристикой. Для Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с. Тело, имеющее около Земли такую скорость, покидает окрестности Земли и становится спутником Солнца. Для Солнца вторая космическая скорость составляет 617,7 км/с.
Параболической вторая космическая скорость называется потому, что тела, имеющие вторую космическую скорость, движутся по параболе.
Вывод формулы:
Для получения формулы второй космической скорости удобно обратить задачу - спросить, какую скорость получит тело на поверхности планеты, если будет падать на неё из бесконечности. Очевидно, что это именно та скорость, которую надо придать телу на поверхности планеты, чтобы вывести его за пределы её гравитационного влияния.
Запишем закон сохранения энергии
где слева стоят кинетическая и потенциальная энергии на поверхности планеты (потенциальная энергия отрицательна, так как точка отсчета взята на бесконечности), справа то же, но на бесконечности (покоящееся тело на границе гравитационного влияния - энергия равна нулю). Здесь m - масса пробного тела, M - масса планеты, R - радиус планеты, G - гравитационная постоянная, v2 - вторая космическая скорость.
Разрешая относительно v2, получим
Между первой и второй космическими скоростями существует простое соотношение:
Третья космическая скорость - минимально необходимая скорость тела без двигателя, позволяющая преодолеть притяжение Солнца и в результате уйти за пределы Солнечной системы в межзвёздное пространство.
Взлетая с поверхности Земли и наилучшим образом используя орбитальное движение планеты космический аппарат может достичь третей космической скорости уже при 16,6 км/с относительно Земли, а при старте с Земли в самом неблагоприятном направлении его необходимо разогнать до 72,8 км/с. Здесь для расчёта предполагается, что космический аппарат приобретает эту скорость сразу на поверхности Земли и после этого не получает негравитационного ускорения (двигатели выключены и сопротивление атмосферы отсутствует). При наиболее энергетически выгодном старте скорость объекта должна быть сонаправлена скорости орбитального движения Земли вокруг Солнца. Орбита такого аппарата в Солнечной системе представляет собой параболу (скорость убывает к нулю асимптотически).
Четвёртая космическая скорость - минимально необходимая скорость тела без двигателя, позволяющая преодолеть притяжение галактики Млечный Путь. Четвёртая космическая скорость не постоянна для всех точек Галактики, а зависит от расстояния до центральной массы (для нашей галактики таковой является объект Стрелец A*, сверхмассивная чёрная дыра). По грубым предварительным расчётам в районе нашего Солнца четвёртая космическая скорость составляет около 550 км/с. Значение сильно зависит не только (и не столько) от расстояния до центра галактики, а от распределения масс вещества по Галактике, о которых пока нет точных данных, ввиду того что видимая материя составляет лишь малую часть общей гравитирующей массы, а все остальное - скрытая масса.
Если и некоторому телу сообщить скорость, равную первой космической скорости, то оно не упадет на Землю, а станет искусственным спутником, движущимся по околоземной круговой орбите. Напомним, что эта скорость должна быть перпендикулярна направлению к центру Земли и равна по величине
v I = √{gR} = 7,9 км/с
,
где g = 9,8 м/с 2
− ускорение свободного падения тел у поверхности Земли, R = 6,4 × 10 6 м
− радиус Земли.
А может ли тело и вовсе порвать цепи тяготения, «привязывающие» его к Земле? Оказывается, может, но для этого его нужно «бросить» с еще большей скоростью. Минимальную начальную скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно преодолело земное притяжение, называют второй космической скоростью. Найдем ее значение v II
.
При удалении тела от Земли сила притяжения совершает отрицательную работу, в результате чего кинетическая энергия тела уменьшается. Одновременно с этим уменьшается и сила притяжения. Если кинетическая энергия упадет до нуля до того, как станет равной нулю сила притяжения, тело вернется обратно на Землю. Чтобы этого не произошло, нужно, чтобы кинетическая энергия сохранялась отличной от нуля до тех пор, пока сила притяжения не обратится в нуль. А это может произойти лишь на бесконечно большом расстоянии от Земли.
Согласно теореме о кинетической энергии, изменение кинетической энергии тела равно работе действующей на тело силы. Для нашего случая можно записать:
0 − mv II 2 /2 = A
,
или
mv II 2 /2 = −A
,
где m
− масса брошенного с Земли тела, A
− работа силы притяжения.
Таким образом, для вычисления второй космической скорости нужно найти работу силы притяжения тела к Земле при удалении тела от поверхности Земли на бесконечно большое расстояние. Как это ни удиви-тельно, но работа эта вовсе не бесконечно большая, несмотря на то, что перемещение тела как будто бы бесконечно велико. Причина тому − уменьшение силы притяжения по мере удаления тела от Земли. Чему же равна работа силы притяжения?
Воспользуемся той особенностью, что работа силы тяготения не зависит от формы траектории движения тела, и рассмотрим самый простой случай − тело удаляется от Земли по линии, проходящей через центр Земли. На приведенном здесь рисунке изображен Земной шар и тело массой m
, которое движется вдоль направления, указанного стрелкой.
Найдем сначала работу А 1
, которую совершает сила притяжения на очень малом участке от произвольной точки N
до точки N 1
. Расстояния этих точек до центра Земли обозначим через r
и r 1
, соответственно, так что работа А 1
будет равна
A 1 = −F(r 1 − r) = F(r − r 1)
.
Но какое значение силы F
следует подставить в эту формулу? Ведь оно изменяется от точки к точке: в N
оно равно GmM/r 2
(М
− масса Земли), в точке N 1
− GmM/r 1 2
.
Очевидно, нужно взять среднее значение этой силы. Так как расстояния r
и r 1
, мало отличаются друг от друга, то в качестве среднего можно взять значение силы в некоторой средней точке, например такой, что
r cp 2 = rr 1
.
Тогда получаем
A 1 = GmM(r − r 1)/(rr 1) = GmM(1/r 1 − 1/r)
.
Рассуждая таким же образом, найдем, что на участке N 1 N 2
совершается работа
A 2 = GmM(1/r 2 − 1/r 1)
,
на участке N 2 N 3
работа равна
A 3 = GmM(1/r 3 − 1/r 2)
,
а на участке NN 3
работа равна
A 1 + A 2 + A 2 = GmM(1/r 3 − 1/r)
.
Закономерность ясна: работа силы притяжения при перемещении тела от одной точки к другой определяется разностью обратных расстояний от этих точек до центра Земли. Теперь нетрудно найти и всю работу А
при перемещении тела от поверхности Земли (r = R
) на бесконечно большое расстояние (r → ∞
, 1/r = 0
):
A = GmM(0 − 1/R) = −GmM/R
.
Как видно, эта работа и в самом деле не бесконечно велика.
Подставив полученное выражение для А
в формулу
mv II 2 /2 = −GmM/R
,
найдем значение второй космической скорости:
v II = √{−2A/m} = √{2GM/R} = √{2gR} = 11,2 км/с
.
Отсюда видно, что вторая космическая скорость в √{2}
раз больше первой космической скорости:
v II = √{2}v I
.
В проведенных расчетах мы не принимали во внимание то, что наше тело взаимодействует не только с Землей, но и с другими космическими объектами. И в первую очередь − с Солнцем. Получив начальную скорость, равную v II
, тело сумеет преодолеть тяготение к Земле, но не станет истинно свободным, а превратится в спутник Солнца. Однако если телу у поверхности Земли сообщить так называемую третью космическую скорость v III = 16,6 км/с
, то оно сумеет преодолеть и силу притяжения к Солнцу.
Смотрите пример
Человечество давно стремилось в космос. Но как оторваться от Земли? Что мешало человеку взлететь к звёздам?
Как мы уже знаем, мешало этому земное притяжение, или гравитационная сила Земли - главное препятствие для космических полётов.
Земное притяжение
Все физические тела, находящиеся на Земле, подчиняются действию закона всемирного тяготения . Согласно этому закону все они притягивают друг друга, то есть действуют друг на друга с силой, которая называется гравитационной силой, или силой тяготения .
Величина этой силы прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Так как масса Земли очень велика и значительно превышает массу любого материального тела, находящегося на её поверхности, то сила тяготения Земли значительно больше сил тяготения всех других тел. Можно сказать, что по сравнению с силой тяготения Земли они вообще незаметны.
Земля притягивает к себе абсолютно всё. Какой бы предмет мы ни бросили вверх, под действием силы тяготения он обязательно вернётся на Землю. Вниз падают капли дождя, вода стекает с гор, осыпается листва с деревьев. Любой предмет, который мы уронили, также падает на пол, а не на потолок.
Главное препятствие для полётов в космос
Земное тяготение не даёт возможности летательным аппаратам покинуть Землю. И преодолеть его нелегко. Но человек научился это делать.
Понаблюдаем за мячом, лежащим на столе. Если он скатится со стола, то сила притяжения Земли заставит его упасть на пол. Но если мы возьмём мяч и с силой бросим вдаль, то упадёт он не сразу, а спустя некоторое время, описав траекторию в воздухе. Почему же он смог преодолеть земное притяжение хотя бы на короткое время?
А произошло вот что. Мы приложили к нему силу, тем самым сообщив ускорение, и мяч начал двигаться. И чем большее ускорение получит мяч, тем выше будет его скорость и тем дальше и выше он сможет улететь.
Представим себе установленную на вершине горы пушку, из которой выпущен снаряд А с большой скоростью. Такой снаряд способен пролететь несколько километров. Но, в конце концов, снаряд всё равно упадёт на землю. Его траектория под действием земного притяжения имеет изогнутый вид. Снаряд В вылетает из пушки с большей скоростью. Траектория его полёта более вытянутая, а сам он приземлится намного дальше. Чем большую скорость получает снаряд, тем прямее становится его траектория и тем большее расстояние он пролетает. И, наконец, при определённой скорости траектория снаряда С приобретает форму замкнутой окружности. Снаряд делает один круг вокруг Земли, другой, третий и уже не падает на Землю. Он становится искусственным спутником Земли.
Конечно, пушечные снаряды в космос никто не отправляет. А вот космические аппараты, получившие определённую скорость, спутниками Земли становятся.
Первая космическая скорость
Какую же скорость должен получить космический аппарат, чтобы преодолеть земное притяжение?
Минимальная скорость, которую нужно сообщить объекту, чтобы вывести его на околоземную круговую (геоцентрическую) орбиту, называется первой космической скоростью .
Вычислим значение этой скорости относительно Земли.
На тело, находящееся на орбите, действует сила тяготения, направленная к центру Земли. Она же является центростремительной силой, пытающейся притянуть это тело к Земле. Но тело на Землю не падает, так как действие этой силы уравновешивается другой силой – центробежной, которая пытается вытолкнуть его. Приравнивая формулы этих сил, вычислим первую космическую скорость.
где m – масса объекта, находящегося на орбите;
M – масса Земли;
v 1 – первая космическая скорость;
R – радиус Земли
G – гравитационная постоянная.
M = 5,97·10 24 кг, R = 6 371 км. Следовательно, v 1 ≈ 7,9 км/с
Значение первой земной космической скорости зависит от радиуса и массы Земли и не зависит от массы тела, выводимого на орбиту.
По этой формуле можно вычислить первые космические скорости и для любой другой планеты. Конечно, они отличаются от первой космической скорости Земли, так как небесные тела имеют различные радиусы и массы. К примеру, первая космическая скорость для Луны равна 1680 км/с.
На орбиту искусственный спутник Земли выводит космическая ракета, разгоняющаяся до первой космической скорости и выше и преодолевающая земное притяжение.
Начало космической эры
Первая космическая скорость была достигнута в СССР 4 октября 1957 г. В этот день земляне услышали позывные первого искусственного спутника Земли. Он был запущен на орбиту с помощью космической ракеты, созданной в СССР. Это был металлический шар с усиками-антеннами, весивший всего 83,6 кг. А сама ракета обладала огромной для того времени мощностью. Ведь для того чтобы вывести на орбиту всего 1 дополнительный килограмм веса, вес самой ракеты должен был увеличиться на 250-300 кг. Но усовершенствование конструкций ракеты, двигателей и систем управления позволило вскоре отправить на земную орбиту гораздо более тяжёлые космические аппараты.
Второй космический спутник, запущенный в СССР 3 ноября 1957 г., весил уже 500 кг. На его борту была сложная научная аппаратура и первое живое существо – собака Лайка.
В истории человечества началась космическая эра.
Вторая космическая скорость
Под действием земного притяжения спутник будет двигаться над планетой по круговой орбите горизонтально. Он не упадёт на поверхность Земли, но и не перейдёт на другую, более высокую орбиту. А чтобы он смог это сделать, ему нужно придать другую скорость, которая называется второй космической скоростью . Эту скорость называют параболической , скоростью убегания , скоростью освобождения . Получив такую скорость, тело перестанет быть спутником Земли, покинет её окрестности и станет спутником Солнца.
Если скорость тела при старте с поверхности Земли выше первой космической скорости, но ниже второй, его околоземная орбита будет иметь форму эллипса. А само тело останется на околоземной орбите.
Тело, получившее при старте с Земли скорость, равную второй космической скорости, будет двигаться по траектории, имеющей форму параболы. Но если эта скорость даже немного превысит значение второй космической скорости, его траектория станет гиперболой.
Вторая космическая скорость, как и первая, для разных небесных тел имеет разное значение, так как зависит от массы и радиуса этого тела.
Вычисляется она по формуле:
Между первой и второй космической скорость сохраняется соотношение
Для Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с.
Впервые ракета, преодолевшая земное притяжение, стартовала 2 января 1959 г. в СССР. Через 34 часа полёта она пересекла орбиту Луны и вышла в межпланетное пространство.
Вторая космическая ракета в сторону Луны была запущена 12 сентября 1959 г. Затем были ракеты, которые достигли поверхности Луны и даже осуществили мягкую посадку.
Впоследствии космические аппараты отправились и к другим планетам.
