Как нарисовать двугранный угол. Нахождение угла между плоскостями (двугранный угол)

Данный урок предназначается для самостоятельного изучения темы «Двугранный угол». В ходе этого занятия учащиеся познакомятся с одной из самых важных геометрических фигур - двугранным углом. Также на уроке нам предстоит узнать о том, как определить линейный угол рассматриваемой геометрической фигуры и какой бывает двугранный угол при основании фигуры.

Повторим, что такое угол на плоскости и как он измеряется.

Рис. 1. Плоскость

Рассмотрим плоскость α (рис. 1). Из точки О исходят два луча - ОВ и ОА .

Определение . Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом.

Угол измеряется в градусах и в радианах.

Вспомним, что такое радиан.

Рис. 2. Радиан

Если мы имеем центральный угол, длина дуги которого равна радиусу, то такой центральный угол называется углом в 1 радиан. , ∠АОВ = 1 рад (рис. 2).

Связь радианов и градусов.

рад.

Получаем, рад. (). Тогда,

Определение . Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а , не принадлежащими одной плоскости.

Рис. 3. Полуплоскости

Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 3). Их общая граница - а . Указанная фигура называется двугранным углом.

Терминология

Полуплоскости α и β - это грани двугранного угла.

Прямая а - это ребро двугранного угла.

На общем ребре а двугранного угла выберем произвольную точку О (рис. 4). В полуплоскости α из точки О восстановим перпендикуляр ОА к прямой а . Из той же точки О во второй полуплоскости β восставим перпендикуляр ОВ к ребру а . Получили угол АОВ , который называется линейным углом двугранного угла.

Рис. 4. Измерение двугранного угла

Докажем равенство всех линейных углов для данного двугранного угла.

Пусть мы имеем двугранный угол (рис. 5). Выберем точку О и точку О 1 на прямой а . Построим линейный угол соответствующий точке О , т. е. проведем два перпендикуляра ОА и ОВ в плоскостях α и β соответственно к ребру а . Получаем угол АОВ - линейный угол двугранного угла.

Рис. 5. Иллюстрация доказательства

Из точки О 1 проведем два перпендикуляра ОА 1 и ОВ 1 к ребру а в плоскостях α и β соответственно и получим второй линейный угол А 1 О 1 В 1 .

Лучи О 1 А 1 и ОА сонаправленны, так как они лежат в одной полуплоскости и параллельны между собой как два перпендикуляра к одной и той же прямой а .

Аналогично, лучи О 1 В 1 и ОВ сонаправлены, значит, ∠ АОВ = ∠ А 1 О 1 В 1 как углы с сонаправленными сторонами, что и требовалось доказать.

Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла.

Доказать : а ⊥ АОВ.

Рис. 6. Иллюстрация доказательства

Доказательство :

ОА ⊥ а по построению, ОВ ⊥ а по построению (рис. 6).

Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым ОА и ОВ из плоскости АОВ , значит, прямая а перпендикулярна плоскости ОАВ , что и требовалось доказать.

Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Это означает, что, сколько градусов радиан содержится в линейном угле, столько же градусов радиан содержится в его двугранном угле. В соответствии с этим различают следующие виды двугранных углов.

Острый (рис. 6)

Двугранный угол острый, если его линейный угол острый, т.е. .

Прямой (рис. 7)

Двугранный угол прямой, когда его линейный угол равен 90°- Тупой (рис. 8)

Двугранный угол тупой, когда его линейный угол тупой, т.е. .

Рис. 7. Прямой угол

Рис. 8. Тупой угол

Примеры построения линейных углов в реальных фигурах

АВС D - тетраэдр.

1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ .

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Построение :

Речь идет о двугранном угле, который образован ребром АВ и гранями АВ D и АВС (рис. 9).

Проведем прямую D Н перпендикулярно плоскости АВС , Н - основание перпендикуляра. Проведем наклонную D М перпендикулярно прямой АВ, М - основание наклонной. По теореме о трех перпендикулярах заключаем, что проекция наклонной НМ также перпендикулярна прямой АВ .

То есть, из точки М восстановлены два перпендикуляра к ребру АВ в двух гранях АВ D и АВС . Мы получили линейный угол D МН .

Заметим, что АВ , ребро двугранного угла, перпендикулярно плоскости линейного угла, т. е. плоскости D МН . Задача решена.

Замечание . Двугранный угол можно обозначить следующим образом: D АВС , где

АВ - ребро, а точки D и С лежат в разных гранях угла.

2. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС .

Проведем перпендикуляр D Н к плоскости АВС и наклонную D N перпендикулярно прямой АС. По теореме о трех перпендикулярах получаем, что НN - проекция наклонной D N на плоскость АВС, также перпендикулярна прямой АС. D NН - линейный угол двугранного угла с ребром АС .

В тетраэдре D АВС все ребра равны. Точка М - середина ребра АС . Докажите, что угол D МВ - линейный угол двугранного угла ВАС D , т. е. двугранного угла с ребром АС . Одна его грань - АС D , вторая - АСВ (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Решение :

Треугольник ADC - равносторонний, DM - медиана, а значит и высота. Значит, D М ⊥ АС. Аналогично, треугольник A В C - равносторонний, В M - медиана, а значит, и высота. Значит, ВМ ⊥ АС.

Таким образом, из точки М ребра АС двугранного угла восстановлено два перпендикуляра DM и ВМ к этому ребру в гранях двугранного угла.

Значит, ∠DM В - линейный угол двугранного угла, что и требовалось доказать.

Итак, мы определили двугранный угол, линейный угол двугранного угла.

На следующем уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых и плоскостей, дальше узнаем что такое двугранный угол при основании фигур.

Список литературы по теме "Двугранный угол", "Двугранный угол при основании геометрических фигур"

Геометрия. 10-11 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
Геометрия. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М.: Дрофа, 2008. - 233 с.: ил.

Yaklass.ru ().
E-science.ru ().
Webmath.exponenta.ru ().
Tutoronline.ru ().

Домашнее задание по теме "Двугранный угол", определение двугранного угла при основании фигур

Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 2, 3 стр. 67.

Что такое линейный угол двугранного угла? Как его построить?

АВС D - тетраэдр. Построить линейный угол двугранного угла с ребром:

а) В D б) D С.

АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 - куб. Постройте линейный угол двугранного угла А 1 АВС с ребром АВ . Определите его градусную меру.

В геометрии для изучения фигур используют две важные характеристики: длины сторон и углы между ними. В случае пространственных фигур к этим характеристиками добавляются двугранные углы. Рассмотрим, что это такое, а также опишем методику определения этих углов на примере пирамиды.

Понятие о двугранном угле

Каждый знает, что две пересекающиеся прямые образуют некоторый угол с вершиной в точке их пересечения. Этот угол можно измерить с помощью транспортира или воспользоваться тригонометрическими функциями для его вычисления. Образованный двумя прямыми угол называется линейным.

Теперь представим, что в трехмерном пространстве имеется две плоскости, которые пересекаются по прямой. Они изображена на рисунке.

Двугранным углом называется угол между двумя пересекающимися плоскостями. Так же как и линейный, он измеряется в градусах или радианах. Если к какой-либо точке прямой, по которой плоскости пересекаются, восстановить два перпендикуляра, лежащих в этих плоскостях, то угол между ними будет искомым двугранным. Определить этот угол проще всего, если воспользоваться уравнениями плоскостей в общем виде.

Уравнение плоскостей и формула для угла между ними

Уравнение любой плоскости в пространстве в общем виде записывается так:

A × x + B × y + C × z + D = 0.

Здесь x, y, z - это координаты точек, принадлежащих плоскости, коэффициенты A, B, C, D - некоторые известные числа. Удобство этого равенства для вычисления двугранных углов заключается в том, что оно в явном виде содержит координаты направляющего вектора плоскости. Будем обозначать его n¯. Тогда:

Вектор n¯ перпендикулярен плоскости. Угол между двумя плоскостями равен углу между их n 1 ¯ и n 2 ¯. Из математики известно, что угол, образованный двумя векторами, однозначно определяется из их скалярного произведения. Это позволяет записать формулу для вычисления двугранного угла между двумя плоскостями:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).

Если подставить координаты векторов, то формула запишется в явном виде:

φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √(A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))).

Знак модуля в числителе используется, чтобы определить только острый угол, поскольку двугранный угол всегда меньше или равен 90 o .

Пирамида и ее углы

Пирамидой называют фигуру, которая образована одним n-угольником и n треугольниками. Здесь n - целое число, равное количеству сторон многоугольника, который является основанием пирамиды. Данная пространственная фигура является многогранником или полиэдром, поскольку она состоит из плоских граней (сторон).

Многогранника-пирамиды могут быть двух типов:

между основанием и боковой стороной (треугольником);
между двумя боковыми сторонами.

Если рассматривается пирамида правильная, то названные углы для нее определить несложно. Для этого по координатам трех известных точек следует составить уравнение плоскостей, а затем воспользоваться приведенной в пункте выше формулой для угла φ.

Ниже приведем пример, в котором покажем, как найти двугранные углы при основании пирамиды четырехугольной правильной.

Четырехугольная и угол при ее основании

Предположим, что дана правильная пирамида с квадратным основанием. Длина стороны квадрата равна a, высота фигура составляет h. Найдем угол между основанием пирамиды и ее боковой стороной.

Поместим начало координатной системы в центр квадрата. Тогда координаты точек A, B, C, D, показанных на рисунке, будут равны:

A = (a/2; -a/2; 0);
B = (a/2; a/2; 0);
C = (-a/2; a/2; 0);

Рассмотрим плоскости ACB и ADB. Очевидно, что направляющий вектор n 1 ¯ для плоскости ACB будет равен:

Для определения направляющего вектора n 2 ¯ плоскости ADB поступим следующим образом: найдем произвольные два вектора, которые ей принадлежат, например, AD¯ и AB¯, затем, вычислим их векторное произведение. Его результат даст координаты n 2 ¯. Имеем:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);
AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);
n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).

Поскольку умножение и деление вектора на число не изменяет его направления, то преобразуем полученный n 2 ¯, разделив его координаты на -a, получим:

Мы определили направляющие вектора n 1 ¯ и n 2 ¯ для плоскостей основания ACB и боковой стороны ADB. Остается воспользоваться формулой для угла φ:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).

Преобразуем полученное выражение и перезапишем его так:

φ = arccos (a / √(a 2 + 4 × h 2)).

Мы получили формулу для двугранного угла при основании для правильной четырехугольной пирамиды. Зная высоту фигуры и длину ее стороны, можно рассчитать угол φ. Например, для пирамиды Хеопса, сторона основания которой составляет 230,4 метра, а начальная высота равнялась 146,5 метра, угол φ будет равен 51,8 o .

Определить двугранный угол для четырехугольной правильной пирамиды также можно с помощью геометрического метода. Для этого достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой h, половиной длины основания a/2 и апофемой равнобедренного треугольника.

Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя не принадлежащим одной плоскости полуплоскостями, имеющими общую границу – прямую а. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями, а общая граница этих полуплоскостей – ребром двугранного угла. Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи, по которым грани двугранного угла, пересекаются плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла. У каждого двугранного угла сколько угодно линейных углов: через каждую точку ребра можно провести плоскость, перпендикулярный этому ребру; лучи, по которым эта плоскость пересекает грани двугранного угла, и образуют линейные углы.

Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Докажем, что если равны двугранные углы, образованные плоскостью основания пирамиды КАВС и плоскостям ее боковых граней, то основание перпендикуляра, проведенного из вершины К, является центром вписанной в треугольник АВС окружности.

Доказательство. Прежде всего, построим линейные углы равных двугранных углов. По определению, плоскость линейного угла должна быть перпендикулярна ребру двугранного угла. Следовательно, ребро двугранного угла должно быть перпендикулярно сторонам линейного угла. Если КО перпендикуляр к плоскости основания, то можно провести ОР перпендикуляр АС, ОR перпендикуляр СВ, OQ перпендикулярAB, а затем соединить точки P, Q, R С точкой К. Тем самым, мы построим проекцию наклонных РК, QK, RK так, что ребра АС, СВ, АВ перпендикулярны этим проекциям. Следовательно, эти ребра перпендикулярны и самим наклонным. И потому плоскости треугольников РОК, QOK, ROK перпендикулярны соответствующим ребрам двугранного угла и образуют те равные линейные углы, о которых сказано в условии. Прямоугольные треугольники РОК, QOK, ROK равны (так как у них общий катет ОК и равны противолежащие этому катету углы). Следовательно, ОР = OR = OQ. Если провести окружность с центром О и радиусом ОР, то стороны треугольника АВС перпендикулярны радиусам ОР, OR и OQ а потому являются касательными к этой окружности.

Перпендикулярность плоскостей. Плоскость альфа и бета называются перпендикулярными, если линейный угол одного из двугранных углов, образовавшихся при их пересечении равен 90". Признаки перпендикулярности двух плоскостей Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед. Его основаниями служат прямоугольники ABCD и A1B1C1D1. А боковые ребра АА1 ВВ1, СС1, DD1, перпендикулярны к основаниям. Отсюда следует что АА1 перпендикуляр АВ, т. е. боковая грань – прямоугольник. Таким образом, можно обосновать свойства прямоугольного параллелепипеда: В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.

Теорема Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Обратимся снова к рисунку, И докажем что АС12 =АВ2+AD2+АА12 Так как ребро СС1 перпендикулярно к основанию АВСD то угол АСС1 прямой. Из прямоугольного треугольника АСС1 по теореме Пифагора получаем АС12=АС2+СС12. Но АС - диагональ прямоугольника АВСD, поэтому АС2 = АВ2+АD2. Кроме того, СС1 = АА1. Следовательно АС12= АВ2+АD2+AA12 Теорема доказана.

Повторим, что такое угол на плоскости и как он измеряется.

Рис. 1. Плоскость

Рассмотрим плоскость α (рис. 1). Из точки О исходят два луча - ОВ и ОА .

Определение . Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом.

Угол измеряется в градусах и в радианах.

Вспомним, что такое радиан.

Рис. 2. Радиан

Связь радианов и градусов.

рад.

Получаем, рад. (). Тогда,

Рис. 3. Полуплоскости

Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 3). Их общая граница - а . Указанная фигура называется двугранным углом.

Терминология

Полуплоскости α и β - это грани двугранного угла.

Прямая а - это ребро двугранного угла.

Рис. 4. Измерение двугранного угла

Докажем равенство всех линейных углов для данного двугранного угла.

Рис. 5. Иллюстрация доказательства

Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла.

Доказать : а ⊥ АОВ.

Рис. 6. Иллюстрация доказательства

Доказательство :

ОА ⊥ а по построению, ОВ ⊥ а по построению (рис. 6).

Острый (рис. 6)

Двугранный угол острый, если его линейный угол острый, т.е. .

Прямой (рис. 7)

Двугранный угол прямой, когда его линейный угол равен 90°- Тупой (рис. 8)

Двугранный угол тупой, когда его линейный угол тупой, т.е. .

Рис. 7. Прямой угол

Рис. 8. Тупой угол

Примеры построения линейных углов в реальных фигурах

АВС D - тетраэдр.

1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ .

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Построение :

Речь идет о двугранном угле, который образован ребром АВ и гранями АВ D и АВС (рис. 9).

Замечание . Двугранный угол можно обозначить следующим образом: D АВС , где

АВ - ребро, а точки D и С лежат в разных гранях угла.

2. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС .

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Решение :

Значит, ∠DM В - линейный угол двугранного угла, что и требовалось доказать.

Итак, мы определили двугранный угол, линейный угол двугранного угла.

Список литературы по теме "Двугранный угол", "Двугранный угол при основании геометрических фигур"

Геометрия. 10-11 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
Геометрия. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М.: Дрофа, 2008. - 233 с.: ил.

Yaklass.ru ().
E-science.ru ().
Webmath.exponenta.ru ().
Tutoronline.ru ().

Домашнее задание по теме "Двугранный угол", определение двугранного угла при основании фигур

Задания 2, 3 стр. 67.

Что такое линейный угол двугранного угла? Как его построить?

АВС D - тетраэдр. Построить линейный угол двугранного угла с ребром:

а) В D б) D С.

Тема урока: «Двугранный угол».

Цель урока: введение понятия двугранного угла и его линейного угла.

Задачи:

Образовательная: рассмотреть задачи на применение этих понятий, сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями;

Развивающая: развитие творческого мышления учащихся, личностное саморазвитие учащихся, развитие речи учащихся;

Воспитательная: воспитание культуры умственного труда, коммуникативной культуры, рефлексивной культуры.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный

Оборудование: компьютер, интерактивная доска.

Литература:

Геометрия. 10-11 классы: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] – 18-е изд. – М. : Просвещение, 2009. – 255 с.

План урока:

Организационный момент (2 мин)

Актуализация знаний (5 мин)

Изучение нового материала (12 мин)

Закрепление изученного материала (21 мин)

Домашнее задание (2 мин)

Подведение итогов (3 мин)

Ход урока:

1. Организационный момент.

Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.

2. Актуализация опорных знаний.

Учитель: На прошлом уроке вы писали самостоятельную работу. В целом работы написали неплохо. А теперь давайте немного повторим. Что называется углом на плоскости?

Ученик: Углом на плоскости называется фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

Учитель: Что называется углом между прямыми в пространстве?

Ученик: Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.

Ученик: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

Учитель: Что называется углом между прямой и плоскостью?

Ученик: Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

3.Изучение нового материала.

Учитель: В стереометрии наряду с такими углами рассматривается ещё один вид углов – двугранные углы. Вы, наверное, уже догадались какова тема сегодняшнего урока, поэтому откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока.

Запись на доске и в тетрадях:

10.12.14.

Двугранный угол.

Учитель : Чтобы ввести понятие двугранного угла, следует напомнить, что любая прямая, проведенная в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две полуплоскости (рис.1,а)

Учитель : Представим себе, что мы перегнули плоскость по прямой так, что две полуплоскости с границей оказались уже не лежащими в одной плоскости (рис. 1, б). Полученная фигура и есть двугранный угол. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. У двугранного угла две грани, отсюда и название - двугранный угол. Прямая - общая граница полуплоскостей - называется ребром двугранного угла. Запишите определение в тетрадь.

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости.

Учитель : В обыденной жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющими форму двугранного угла. Приведите примеры.

Ученик : Полураскрытая папка.

Ученик : Стена комнаты совместно с полом.

Ученик : Двускатные крыши зданий.

Учитель : Правильно. И таких примеров огромное количество.

Учитель : Как вы знаете, углы на плоскости измеряются в градусах. Вероятно у вас возник вопрос, а как же измеряются двугранные углы? Это делается следующим образом. Отметим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла. Сделайте чертёж у себя в тетрадях.

Запись на доске и в тетрадях.

О ∈ а, АО ⊥ а, ВО ⊥ a , СА BD – двугранный угол, ∠ AOB – линейный угол двугранного угла.

Учитель : Все линейные углы двугранного угла равны. Сделайте себе ещё вот такой чертёж.

Учитель : Докажем это. Рассмотрим два линейных угла АОВ и PQR . Лучи ОА и QP лежат в одной грани и перпендикулярны OQ , значит, они сонаправлены. Аналогично лучи ОВ и QR сонаправлены. Значит, ∠ AOB = ∠ PQR (как углы с сонаправленными сторонами).

Учитель : Ну, а теперь ответ на наш вопрос как же измеряется двугранный угол. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Перерисуйте из учебника со страницы 48 изображения острого, прямого и тупого двугранного угла.