Представим себе поверхность и сидящего на ней муравья. Удастся ли муравью доползти до обратной стороны поверхности - образно говоря, до её изнанки, - не перелезая через край? Конечно же нет!

Первый пример односторонней поверхности, в любое место которой может доползти муравей, не перелезая через край, привел Мёбиус в 1858г.

М.Эшер "Лист Мёбиуса II" «Переход» через ленту Мебиусав другое измерение

Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) - ученик «короля» математиков Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века.

В возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса (или лента). Мёбиус придумал ленту, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.

М.Эшер "Лист Мёбиуса"

Изготовим лист Мёбиуса: возьмите бумажную полоску-длинный узкий прямоугольник АВСD (удобные размеры: длина 30 см, ширина 3 см). Перекрутив один конец полоски на 180º, склейте из нее кольцо (точки А и С, В и D).Модель готова.

Модель ленты Мебиуса может быть легко создана из полоски бумаги, повернув один из концов полоски вполоборота и соединив его с другим концом в замкнутую фигуру. Если начать рисовать карандашом линию на поверхности ленты, то линия уйдет вглубь фигуры и пройдет под начальной точкой линии, как бы уйдя на "другую сторону" ленты. Если продолжать линию, то она вернется в начальную точку. При этом длина нарисованной линии будет вдвое больше длины полоски бумаги. Этот пример показывает, что у ленты Мебиуса лишь одна сторона и одна граница.

В Евклидовом пространстве, фактически, существует два типа ленты Мебиуса, развернутой вполоборота: одна - развернутая по часовой стрелке, другая - против часовой стрелки.

Лист Мебиуса преподнесет вам сюрприз, если вы попытаетесь его разрезать. Разрежьте лист по центральной линии. Что у вас получилось? Вместо того, чтобы развалиться на два куска, лента разворачивается в длинную связанную замкнутую полоску. Полученную после первого разреза ленту снова разрежьте по центральной линии. Перед последним сжатием ножниц попробуйте угадать, что будет?

Чтобы получить ленту Мебиуса, мы переворачивали полоску бумаги на 180º, на пол оборота. Теперь полоску скрутите на 360º, полный оборот. Склейте, затем разрежьте её по центральной линии. Какой получиться результат, трудно предугадать.

А теперь попробуем изготовить такую модель: в полосе АВСD прорезать щель и продеть сквозь неё один конец. Повернув, на пол оборота, склейте, как показано на рисунке.

А теперь продолжите разрез вдоль всей ленты. Что у вас получилось?

Таинственный и знаменитый лист мебиуса, появившийся в 1858 году, волновал художников и скульпторов. Много рисунков с изображениями листа Мебиуса оставил известный голландский художник Морис Эшер (см. статью ).

Целую серию вариантов листа Мебиуса можно встретить в скульптуре.

Роман с камнем. Праща Мебиуса. С. Карпиков Памятник ленте Мёбиуса в Москве. А. Налич

Парадокс и совершество. А. Эткало Геометрические скульптуры Мерит Расмуссен

г. Минск. Скверик около Центральной Научной библиотеки имени Якуба Коласа.

Архитетурные решения с использованием идеи ленты Мебиуса:

Невероятный проект новой библиотеки в Астане, Казахстан

Настольные композиции:

Даже есть мебель в виде ленты Мёбиуса

Ювелирные украшения в виде ленты Мёбиуса:

Есть гипотеза, что спираль ДНК человека сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса.

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса .

Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике , например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мебиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мебиуса». С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея А. Шепелёва «Echo» (СПб.: Амфора, 2003). Из аннотации к книге: «„Echo“ — литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии — „мальчиков“ и „девочек“ — переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».

Бочин В.В. 1

Безобразова О.И. 1

1 ГБОУ АО «Православная гимназия имени священномученика Иосифа, митрополита Астраханского и благодетельницы Веры Жилкиной»

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проекта

Тема «Лента Мёбиуса» занимает важное место в изучении математики. Эта тема является важной интересной темой курса школьной математики.

Чудесные свойства этого простого, и в то же время загадочного листа бумаги в разных странах породили множество научных трудов, изобретений (и полезных, и нереальных), а также многочисленные фантастические рассказы, повести и романы.

Цели проекта

Расширение общего кругозора.

Сформировать представление о ленте Мёбиуса.

Понять, чем особенна лента Мебиуса.

Задачи исследования

Разобраться с понятием «лента Мёбиуса».

Выявить, что такое лента Мёбиуса и зачем она необходима.

Определить, чем интересна лента Мёбиуса.

Ознакомиться с тем, что означает лента Мёбиуса.

Разобраться, для чего используется лента Мебиуса.

Выявить применение ленты Мёбиуса в жизни.

Методы исследования

Анализ математической литературы, учебников и информационных сайтов по теме проекта.

Беседа с учителем математики.

Объект исследования: Лента Мёбиуса.

Гипотеза: если мы исследуем поверхность ленты Мебиуса, то определим её свойства и практическое применение.

Что такое лента Мебиуса?

Существуют научные знания и явления, которые привносят в обыденность нашей жизни тайну и загадку. Лента Мебиуса относится к ним в полной мере. Современная математика замечательно описывает при помощи формул все ее свойства и особенности. А вот обычные люди, слабо разбирающиеся в геометрических премудростях, практически ежедневно сталкиваются с предметами, изготовленными по ее образу и подобию, даже не подозревая об этом.

Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, - это объект изучения такой математической дисциплины, как топология , исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что она имеет всего одну сторону и край никак не связаны с ее расположением в пространстве. Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью, где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.

История создания

Существует интересная легенда об открытии листа Мёбиуса. А.Ф.Мёбиус (1790-1868) ,ученик «короля математиков» Гаусса, был профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного, доброго чудака студенты боготворили. Он любил ошарашивать их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека растворилось бы в истории, если бы ни одно ненастное утро…

На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мёбиуса.

Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса - Иоганн Бенедикт Листинг (1808 - 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году.

Особенности ленты Мёбиуса

Модель ленты Мебиуса может быть легко создана из полоски бумаги, повернув один из концов полоски вполоборота и соединив его с другим концом в замкнутую фигуру. Если начать рисовать карандашом линию на поверхности ленты, то линия уйдет вглубь фигуры и пройдет под начальной точкой линии, как будто уйдя на "другую сторону" ленты. Если продолжать линию, то она вернется в начальную точку. При этом длина нарисованной линии будет вдвое больше длины полоски бумаги. Этот пример показывает, что у ленты Мебиуса лишь одна сторона и одна граница . Если продолжить эксперимент и разрезать ленту Мебиуса точно посередине, то, ожидая получить в результате две ленты, мы с удивлением обнаружим еще одну такую ленту, разрезав которую так же еще раз, получим две намотанные друг на друга ленты. Не останавливаясь на достигнутом, попробуем (предварительно склеив новую ленту Мебиуса) разрезать бумажную полосу, отступив от края треть ее ширины. У нас в руках останутся два «спаянных» колечка, одно из которых (тонкое) — классическая лента Мебиуса, а широкая — «афганская» (т.е. одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «афганская лента ). Одним словом, чем больше полуоборотов в ленте Мебиуса, тем более причудливые и затейливые фигуры получатся в результате.

Лента Мёбиуса - это кольцо, которое в каждой точке имеет соответственно по две составляющие протяжённость грани. Парадокс - это ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения.

Истину или ложь утверждает человек, который говорит «я лгу», и больше ничего не говорит?

Критянин Эпименид сказал:

«Все критяне лжецы».

Эпименид сам критянин.

Следовательно, он лжец. Если Эпименид лгун, тогда его заявление, что все критяне лгуны - ложно. Значит, критяне не лгуны.

Между тем Эпименид, как определено условием, - критянин, следовательно, он не лгун, и поэтому его утверждение «все критяне лгуны» - истинно.

Таким образом, мы пришли к взаимоисключающим предложениям.

Одно из них утверждает, что высказывание «все критяне лгуны», является ложным, а другое, наоборот, на то, что высказывание истинное.

Притом как в одном, так и в другом случае наши рассуждения логически строги, в них нет ни намеренных, ни непреднамеренных ошибок. Так, где же истина?

Было приложено немало усилий объяснить этот странный результат.

Имеется, например, такое решение.

Точно так же тот, кто считается правдивым, разве всегда утверждает лишь правду?

В практике общения ложное обычно перемешано с истиной, и мы не найдем такого отпетого лгуна, который только бы лгал. Его легко изобличить, и тогда понимай все, что им сказано, наоборот.

В действительности, однако, положение гораздо сложнее. Парадоксу посвящена обширная литература. Он на самом деле вызывает недоумение. Легенда утверждает даже, что древнегреческий философ Кронос, испытав неудачу в попытках решить этот парадокс, от огорчения умер. С тех пор внимание к парадоксу лжеца не затухало.

Свойства ленты Мёбиуса

Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:

Наличие одной стороны.

Односторонность - топологическое свойство листа характерное только для него. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю - другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.

Непрерывность

Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.

Связность

Разрезая яблоко, мы получим две части. А можем ли мы одним действием разделить кольцо на две части? Нет, для этого мы должны сделать два разреза. Поэтому любой тополог скажет, что квадрат-односвязен , кольцо и оправа от очков - двусвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры - многосвязны. Ну, а лента Мёбиуса? Конечно двусвязена, т.к. если разрезать ее вдоль, она превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Причём она будет больше и тоньше исходной. Если перекрутить ленту на два оборота, то лента становится односвязным. Три оборота - связность снова равна двум.

Связность заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.

Ориентированность

В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Полный обход вокруг листа изменяет направление окружности на противоположное. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.

Если на внутреннею сторону обычного кольца посадить бумажного паука, а на внешнюю - бумажную муху и разрешить и разрешить им ползать как угодно, запретив только перелазить через край кольца, то паук не сможет добраться до мухи. Если тоже самое проделать на ленте Мебиуса, то паук быстро догонит муху.

«Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую со всеми другими. Хроматический номер ленты Мёбиуса равен 6. А хроматический номер простого кольца из бумаги равен 5.

Чудесные свойства этого простого и загадочного листа бумаги в разных странах породили множество научных трудов, изобретений, а также многочисленные фантастические рассказы, повести и романы.

Изготовление ленты Мебиуса

Модель ленты Мебиуса очень легко сделать, для этого нам нужны лишь ножницы, клей и бумага. Вырезаем из бумаги длинную полоску, после этого склеиваем концы этой полоски, предварительно перевернув её.

Лента Мебиуса - это бумажная лента, повернутая одним кольцом на пол - оборота и склеенная с его другим кольцом.

Применение ленты Мебиуса

В различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 180 градусов проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех. На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.

Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них - это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.

В 1923 году знаменитый американский изобретатель Ли де Форест, предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек, сразу «с двух сторон». Изобрели магнитофон — и сразу же нашлись сообразительные люди, которые придумали особые кассеты, где магнитная лента соединяется в кольцо и перекручивается. Ясно, что тогда можно записывать и считывать подряд с двух дорожек, не снимая кассеты с магнитофона и не меняя их местами, а значит, время непрерывного звучания увеличивается ровно вдвое.

В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин предложил натянуть сделанную из специального материала ленту Мебиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной ленты.

Некто Джакобс поставил свои знания топологии на службу в химчистки — он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, «работая» при этом обеими своими сторонами. А Ричард Дэвис, физик из американской корпорации «Сандиа» в Альбукерке, изобрел электрическое сопротивление, обладающее нулевой реактивностью.

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса.

И это только малая часть примеров использования этой удивительной поверхности.

В генетике есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Более того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Физики утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника!

Российский математик Евгений Старостин и его коллега Герт ван дер Хейден из Университетского Колледжа в Лондоне в 2007 г. решили загадку, которая озадачила математиков в течение более чем 75 лет. Они поняли, как можно предсказать трехмерную форму фигуры, которую образовывает полоса Мёбиуса.

Полоса сделана так, что математики называют её «развёртывающеёся поверхностью». Это значит, что она может быть сплющена, при этом её форма не разрушится (в отличие от сферы - полоса образующая её непременно сломается при сплющивании). Если полоса формирует петлю Мёбиуса, то при разъединении концов она может вернуться в первоначальное состояние, подобно эластической резинке затрачивая на это минимум энергии.

Для решения поставленной задачи, учёным потребовались математические формулы, выведенные более двадцати лет назад. Старостин в интервью сказал следующее: «Если вы попробуете выписать уравнения, необходимые для понимания формы полосы Мёбиуса, без этих старых математических инструментов, то вы застрянете - это крайне сложно, я пробовал, и у меня не получилось».

Используя старые уравнения, два исследователя показали, что форма ленты Мёбиуса зависит от длины и ширины прямоугольника, образующего петлю.

Ученые, специализирующиеся в биологии, медицине, физике, астрономии и других областях, могли бы использовать модель. «Уравнения применимы к любой прямоугольной полосе, которая скручивается и сгибается», - говорит Джон Маддокс, математик в швейцарском Технологическом институте в Лозанне.

Они могли бы быть полезны при проектировании углеродных нанотрубок. Тот же самый подход мог бы применяться при изучении биологических молекул, помочь в создании сложных лекарств.

В астрономии ученые высказывают предположения о том, как выглядит наша вселенная. Одно из них о том, что наша Вселенная - это перекрученное пространство.

Лента Мебиуса в искусстве

Лента Мёбиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник горящим концом лучины дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса - на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка.

Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл. Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер. Особенно интересна гравюра с изображением муравья, ползающего по Ленте Мебиуса. В 2009 году Лиза Рэй написала картину «Корабль дураков в бесконечности».

Немало памятников посвящено ленте Мёбиуса: памятник во Франкфурте-на-Майне (Германия), памятник в Минске (Беларусь), памятник в Москве около кинотеатра «Горизонт», скульптура, украшающая окрестности здания центра физических исследований в американском штате Иллинойс.

Поражает своим решением и красотой проект новой библиотеки в виде листа Мёбиуса в Астане (Казахстан).

О ленте Мебиуса упоминают также и в поэзии:

«Лист Мебиуса - символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом…

Он полон неосознанной романтики:

В нем бесконечность свернута кольцом».

(«Лист Мёбиуса» Наталья Юрьевна Иванова)

В 1967 году в Бразилии на международном математическом конгрессе выпустили памятную марку достоинством в 5 сентаво с изображением ленты Мебиуса.

Заключение

Во время этого исследования мне удалось прийти к следующим выводам:

1. Лента Мёбиуса имеет один край.

2. Лента Мёбиуса имеет одну сторону.

3. Лента Мёбиуса - топологический объект, не меняет своих свойств, пока её не разрезают и не склеивают её отдельные куски.

4. Поверхность лента Мёбиуса неориентируемая. На ленте Мебиуса нельзя разделить направления «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки».

5. Лента Мебиуса получается из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины.

Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии - топологии.

В ходе исследования узнал, что:

 Существует односторонняя поверхность - лист Мёбиуса.

 Он обладает удивительными свойствами.

 Лента Мёбиуса используется в жизни.

 Она интересует литераторов и художников.

 Зная свойства Ленты Мёбиуса, можно придумать различные фокусы и развлечения и изготовить интересные вещи.

Список литературы

https://masterok.livejournal.com/3761488.html

http://vestnik-nou1.narod.ru/primenenie_lista_mebiusa.htm

http://www.decoder.ru/list/all/topic_97/

Клиффорд Пиковер «Великая математика» М. «БИНОМ Лаборатория знаний», 2015

Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. «Курс гомотопической топологии». — М.: Наука, 1989.

Геометрия - слово греческое, в переводе на русский язык означает землемерие, изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится на разделы:

Планиметрия (лат. слово, планум - поверхность, плоскость + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник, квадрат, круг, окружность и т.д.)

Стереометрия (греч, стереос - пространство + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб, параллелепипед и т.д.)

Топология (гр. топос - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. Родоначальниками топологии были немецкий учёный Георг Кантор (1845-1918), Феликс Хаусдорф, Павел Сергеевич Александров (1896-1982).

Геометрия и топология

Как было сказано выше, что топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях, не допускающих разрывов и склеивания. С точки зрения топологии баранка и кружка одно и тоже. Сжимая и растягивая кусок резины можно перейти от одной из этих фигур к другой. А вот баранка и шар - разные объекты; чтобы сделать отверстие, надо разорвать баранку. Примерами топологических фигур могут быть фигуры:

Примеры не равных фигур в топологии:

Вторая фигура получается из первой путем склеивания точек С 1 и Д 1 , С 2 и Д 2 и растяжения отрезка АВ. Топологические равенства отличаются от равенств в геометрии твёрдых фигур, где равенство фигур равносильна равенству измерении. В топологии фигуры не имеют измерений. Самым известным объектом в топологии является лист Мёбиуса.

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества
является параметризация:

где Эти формулы задают ленту Мебиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x – y с центром (0,0,0). Параметр пробегает вдоль ленты, в то время как задает расстояние от края.

В цилиндрических координатах (r, ,z), неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением:

Топологически лист Мёбиус может быть определен как факторпространство квадрата
по отношению эквивалентности (x,0) ~(1-x,1) для
.

Лист Мёбиуса - неориентируемая поверхность с краем.

Лист Мёбиуса - это также пространство нетривиального расслоения над окружностью с слоем отрезок.

Историческая справка

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса придумал в 1858 году немецкий геометр Август Фердинанд Мебиус (1790-1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляло время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одни из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Идея пришла ему в голову, когда служанка не правильно сшила ленту.

17 ноября 1790 года 215 лет назад в Германии родился мальчик – здоровый и крепкий малыш. Как и все дети, он сначала научился ползать, потом ходить, позже говорить. Все шло и развивалось своим чередом. Школа, университет. Мальчику повезло: астрономию ему преподавал сам Гаусс, математику – Пфафф. Как-то незаметно для окружающих в 26 лет он стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил ошарашивать их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека за 215 лет растворилось в истории, если бы ни одно ненастное утро…На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!”

Эта история произошла либо в 1853, либо в 1855 году. Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома. Лента вдохновила на подвиги не одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

Существует ещё одна версия: Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками А.Ф.Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана. Для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако, неразличимы).

Лента Мебиуса (Möbius strip) - трехмерная поверхность, имеющая только одну сторону и одну границу, обладающая математическим свойством неориентируемости. Она была открыта независимо одновременно двумя математиками из Германии Августом Фердинандом Мёбиусом (August Ferdinand Möbius) и Иоганном Бенедиктом Листингом (Johann Benedict Listing) в 1858 году.

Геометрия и математика

Лента Мебиуса может быть представленная параметрической системой уравнений:

где и . Этими уравнениями описывается лента Мебиуса шириной 1, лежащая в плоскости x -y; внутренний радиус окружности которой равен 1, центр внутренней окружности находится в начале координат (0,0,0). Параметр u движется вдоль ленты, а параметр v - от одной границы к другой.

Иным способом ленту можно представить выражением в полярных координатах:

Топологически, лента Мебиуса может быть определена как квадрат x , верх которого соединен с низом в соотношении (x ,0) ~ (1-x ,1) for 0 ≤ x ≤ 1, как показано на рисунке справа.

Близкие объекты

Тесно связанным с лентой Мебиуса является загадочный объект - бутылка Кляйна . Бутылка Кляйна может быть создана склеиванием двух лент Мебиуса друг с другом вдоль их границ. Эта операция не может быть произведена в трехмерном пространстве без создания пересечений внутри фигуры.

Одна из базовых невозможных фигур невозможный треугольник может быть представлен как лента Мебиуса, если сгладить некоторое его грани. При этом получится лента Мебиуса, описывающая три витка.

Искусство

Логотип The Power Architecture

Также лента Мебиуса часто используется в изображениях различных логотипах и торговых марках. Самых яркий пример - международный символ повторного использования.

Приложение. Картины с лентами Мебиуса

Картина ниже Пола Билацика (Paul Bielaczyc) называется Как говорит автор, эта картина - объединение различных аспектов его жизни. Кельтские узлы окружают его в его работе, картины М.К. Эшера всегда служат источником вдохновения, а лента Мебиуса имеет отношение к предмету, изучаемому художником.

Мы обратили внимание на то, что в нашем блоге достаточное количество вопросов посвящено теме маркировки упаковки в части указания сведений о возможности утилизации. В техническом регламенте Таможенного союза «О безопасности упаковки» для этих целей используется петля Мебиуса. При этом в самом документе не приводится подробных указаний о том, что собой представляет такой символ. Именно поэтому мы решили немного подробнее познакомиться с петлей Мебиуса.

Для понимания сути петли Мебиуса обратимся за толкованием к мировой практике.

Согласно международным нормам, символ петли (ленты) Мебиуса используется только в случаях подтверждения соответствия экологическим требованиям. Такой знак относится к экологической маркировке. Знак может применяться только в качестве информирования о том, что материал (или его часть) продукции является повторно переработанным или, наоборот, применяемые материалы могут быть вторично использованы после утилизации. Нанесение петли Мебиуса без соответствующих доказательств по международным нормам недопустимо.

Для справки: петля Мебиуса относится к символам экологической маркировки по типу II. Этот тип не требует получения отдельных документов о соответствии заданным нормам безопасности, ответственность за соблюдение требований ложится на самого производителя.

Общепринятым изображением петли Мебиуса является «широкий» вариант символа, который регламентирован формой к знаку № 1135 ИСО 7000. Именно такое исполнение применяется для информирования о переработки продукции.

Также символическое изображение петли Мебиуса получило распространение и применяется для обозначения вида полимера. При этом в петле Мебиуса проставляется цифровое и буквенное обозначение пластика, которого насчитывается шесть основных разновидностей:

Возможно, в будущем узкие стрелки в виде петли Мебиуса при маркировке полимерных материалов могут быть заменены равносторонним треугольником. С такой инициативой выступил Международный комитет по полимерам американского общества по испытанию материалов (ASTM). За основу предложения принят тот факт, что использование стрелок в виде ленты Мебиуса применяется, прежде всего, в контексте вторичной переработки, и ставит на второй план основную цель данной системы маркировки - отображение состава продукции.

Остановимся немного подробнее на самих требованиях к маркировке петлей Мебиуса: обратимся к тексту российского стандарта ГОСТ Р ИСО 14021-2000 «Этикетки и декларации экологические. Самодекларируемые экологические заявления (Экологическая маркировка по типу II)».

В подпункте 5.10.1 о специальных знаках приведены основные положения о петле Мебиуса. Исходя из текста стандарта, следует, что такой символ должен быть использован только для заявлений о рециклированном или рециклируемом содержимом.

Для справки: в случае рециклированного содержания речь идет о доле уже переработанного материала в продукции; рециклируемое содержание говорит о возможности дальнейшей переработки. В первом случае обязательно указывается массовая доля материала, который был переработан. Для рециклируемого содержимого петля Мебиуса наносится без дополнительных цифровых изображений.

В заключении хочется отметить практический опыт нанесения петли Мебиуса: в российской системе у производителей/продавцов нет единого подхода к маркировке знаком об утилизации. В обращение поступают товары с различными интерпретациями петли Мебиуса. Такое разнообразие связано с тем, что в нашем законодательстве нет единого документа, в котором были бы четко прописаны правила применения петли Мебиуса.